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Some Remarks on the Local Unitary Classification of Three-Qubit Pure States

三量子比特纯态局域幺正分类的多少注记

https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/1540/1/012025/pdf

选录

多体纠缠的表征经常是一项具有挑战性的任务。对于三量子比特系统而言，纠缠多面体（entanglement polytope）尤其有用，因为它允许从几何的角度对辩论的非局域性质进行定性分析。在本接洽中，咱们通过数值要道标明，对于三量子比特系统，某些纠缠类别与纠缠多面体中的特定区域之间存在对应关系。

1. 小引

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纠缠是多体量子系统的一个基本特色，使得其中每一个组成部分的性质无法孤苦于其他部分来态状[1,2]。连年来，东谈主们在纠缠的产生、识别和操控方面作念出了一些戮力[3]。事实上，这种资源的一些骨子应用也依然杀青。然而，仍然存在一些需要克服的挑战。触及的子系统越多，纠缠的表征就越复杂[4]。举例，跟着组成要素数目的增多，会出现很多不等价的纠缠类型，因此辩认这些类型组成了一个基本问题[3]。另一方面，已知两个具有疏通纠缠量的量子态在局部幺正变换下是等价的[5]。因此，不错通过对应的轨谈来进行分类。举例，在三量子比特纯态的情况下，等价类由五个一语气参数标记，因此纠缠分类触及多数的内容[6,7]。不外，不错凭据这五个参数所决定的纠缠性质将态矢量进行分组。比较之下，要是使用迅速局域操作和经典通讯（SLOCC）的秩序进行分类，则仅存在两种纠缠类型[8]。

一种惩办分类问题的要道是通过纠缠多面体来进行。对于大批子比特纯态，发现单个量子比特约化密度矩阵的最小本征值知足所谓的多边形不等式（polygon inequalities）[9]。对于三量子比特系统，这些不等式决定了一个三维空间中的多面体。该有谋划提供了一种仅通过细则局域谱来见证和分类多体纠缠的判据，因为对于非局域性质的信息被编码在这个凸体中[5,10,11]。本文旨在讹诈这一表面框架，进一步加深对三量子比特纯态在局域幺正变换下的分类的理解。为此，咱们通过数值要道杀青了纠缠的局域幺正类型与多面体中某些区域之间的对应关系的识别。

本文的结构如下：

在第2节中，咱们再行讲究纠缠多面体（entanglement polytope）的表面。咱们将先容其界说不等式，并议论一些代表性三量子比特纯态的几何图像。

在第3节中，咱们讲究了局域幺正纠缠分类（local unitary entanglement classification），并展示了通过数值要道识别它们在多面体上的对应投影。

临了，第4节给出了本文的一些论断与瞻望。

2. 三量子比特纠缠多面体

咱们议论一个由三个两能级系统 A、B 和 C 组成的系统。这么的系统由一个纯态 |ψ⟩ 态状，该态属于希尔伯特空间。在蓄意基矢下，该态不错默示为：

对于这些态矢量，蓄意出了最小三元组 (λA, λB, λC)T，并发现第一个态的图像位于点 ~λW = (1/3, 1/3, 1/3)T 处，而 GHZ 态则位于图 1 中的极点 G 处。另一方面，双可分态 |ψAi = |φAi ⊗ |φBCi、|ψBi = |φBi ⊗ |φACi 和 |ψCi = |φCi ⊗ |φABi 分别位于边 SA、SB 和 SC 上。代表性的态矢量将不才一节中先容。

当咱们柔软一个纯态的纠缠性质时，这一框架组成了一种优雅且庞大的器具，仅通过细则局部谱（即无需测量各部分之间的任何干联）即可检测多体纠缠，而测量这些关联经常需要多数的执行职责 [3, 11]。虽然，在咱们的情形中，不错通过将一个纯态在最小特征值空间中的图像定位，来探伤实在三体纠缠的存在，因为多面体（polytope）中的某些区域只与特定类型的纠缠相容 [10, 11]。举例，当咱们议论在迅速局域操作和经典通讯（SLOCC）下具有等价纠缠的态时，即那些不错以有限得手概率相互调理的态，存在两种类型的三体纠缠：W 型和 GHZ 型 [8]。在前一种情况下，代表态矢量是 |Wi，见公式(3)，属于此类的态会被投影到四面体 SABC 内。另一方面，GHZ 类型的态隐蔽通盘这个词多面体，其代表态矢量为 |GHZi，见公式(4)。该要道已在光学系统中杀青了执行考据，箝制标明它在识别不同纠缠类型方面额外灵验，比较齐全的层析重建所需资源更少 [3]。

不才一节中，咱们将议论三体纠缠的一种更紧密的分类，这种分类是通过议论局域幺正变换得到的。在这种情形下会出现无尽多种纠缠类型，然而，不错凭据一些局域幺正不变量的取值将态进行归类，这些不变量决定了它们的纠缠性质。咱们发现，这个额外直不雅的几何框架有助于真切理解这种态的分类。

3. 纠缠的局域幺正等价类的几何视角

咱们称两个处于并吞 Hilbert 空间中的态矢量 |ψ⟩ 和 |ϕ⟩ 在局域幺正操作劣等价，要是存在局域幺正矩阵 {Ui} 使得：

咱们的谋划是将随性态矢量鼎新为一种最简体式（minimal form），使适合且仅当两个态矢量的最简体式疏通期，它们才是局域幺正等价的（简称为 LU 等价）[1]。在现时情形下，任何三量子比特纯态齐不错被鼎新为一种最简体式，其中每一个态矢量不错唯独地默示为五个正交基矢直积态的线性组合。骨子上，通过局域幺正变换，方程(1)中的态不错写成如下体式 [6, 7]：

到现在为止，咱们依然展示了三量子比特纯态的局域幺正等价分类，以及它们在最小特征值空间中的图像可视化。从咱们的分析不错看出，某些类型包含两个或更多具有相似纠缠性质的代表性态矢量。举例，在图 2a、2d 和 3d 中不错较着看出这极少。

此外，该多面体（polytope）不仅提供了对于子系统的谱性质的信息，还不错告诉咱们哪些纠缠类粗略产生两体纠缠（bipartite entanglement）。

对于 第1类 ，其图像位于原点，因此每个子系统的最小特征值均为零。

对于 第2a类 ，可分的子系统对应的特征值遥远为零，而另外两个部分的特征值疏通。

对于 第2b类 ，通盘子系统的最小特征值齐疏通，因此其图像位于线段 SG 上。此外，这类态无法通过测量得到两体纠缠，因为一朝任何一方进行测量，纠缠就会被阻塞。从几何上看，这一特色一目了然，因为咱们不行随性接近那些双可分态场所的边。而对于 第3a类 ，则不错从这类态中得到随性两个子系统之间的两体纠缠。举例，若 A 测得其子系统处于态 |1⟩，则不错细则 B 和 C 分享一个纠缠态；若 A 的子系统处于态 |0⟩，则 A 不错细则其他两方之间莫得纠缠（这一性质也在文件 [6] 中被说起）。

第3b类 是一种敬爱敬爱的类型。不雅察态 (13)，通过近似的分析可知，不错得到 BC 之间的纠缠，但无法得到 AB 或 AC 之间的纠缠。从图 2d 不错立即看出，该态的图像位于四面体 SAG 里面，因此咱们不错随性围聚边 SA，但不行围聚 SB 或 SC。不异地，该图还标明，从态 (14) 和 (15) 分别只可索求出 AC 和 AB 之间的纠缠。

第4a类 不错索求任何体式的两体纠缠。该类态图像的一个敬爱敬爱特色是它们更蚁集于线段 SG 周围。

至于 第4b类 ，从图 3c 和 3d 可见，从态 (17) 不错索求 BC 和 AB 的纠缠，但无法索求 AC 的纠缠；而态 (18) 则不行索求 AB 的纠缠。

对于 第4c类和第4d类 ，不错索求通盘类型的两体纠缠，何况这些态也更蚁集于线段 SG 周围。

值得一提的是，直到第4a类为止，局域幺正等价分类与纠缠多面体之间的对应关系已在文件 [10] 中有所报谈。本文进一步包含了对第4b至4d类的接洽。

4. 论断

本文简要讲究了纠缠多面体表面以及三量子比特纯态的局域幺正等价分类。通过数值要道，咱们杀青了在所谓的最小特征值空间中对每种纠缠类型的可视化呈现，从而识别出这些类型与多面体中特定区域之间的对应关系，进一步加深了咱们对局域幺正等价分类的理解。

更具体地说，咱们的箝制标明，这一框架被评释是一个符合的器具，可用于：

(i) 获取分享并吞三量子比特纯态的子系统的谱性质信息；

(ii) 判别不仅对于合座纠缠、也对于给定量子态中所包含的两体纠缠的信息。

昔日的接洽成见不错包括对多面体的旋转和反射对称性的接洽。另一方面，还不错在这个三维空间中基于欧几里得距离界说度量，从中索求辩论纠缠进度的定量信息 [11]。此外，咱们也不错探讨在这种几何框架下何如操控纠缠。这些方进取的接洽箝制将在其他文件中另行报谈.

原文贯穿：https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/1540/1/012025/pdf开云体育(中国)官方网站

发布于：甘肃省